令和6年神奈川県立高校 （数学）※7

 次の問題へ行く前に以下の公式は必ず覚えておきましょう。

1. 和と差の積の公式

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

• ポイント: 「和と差の積」は「差の二乗」になります。

例:

$$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$$

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2. 平方の展開公式

(1) 二乗の公式（和の二乗）

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

• ポイント: 「2ab」が加わります。

例:

$$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$$

(2) 二乗の公式（差の二乗）

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

• ポイント: 「2ab」が引かれます。

例:

$$(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$$

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3. 立方の展開公式

(1) 和の立方

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

• ポイント: 「係数が 1, 3, 3, 1 の順番」です。

(2) 差の立方

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

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4. 三項展開公式（重要！）

$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$$

• ポイント: 3つの項を展開すると「3つの二乗項」と「すべての組み合わせの積の2倍」が出てきます。

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5. 因数分解の公式

(1) 和と差の積

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

(2) 立方の和

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

(3) 立方の差

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

問題:

$$x = 143, \, y = 47 \, のとき、x^2 - 9y^2 \, の値を求めなさい。$$

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解説

1. 与えられた式を確認する

式：

$$x^2 - 9y^2$$

この式は、差の二乗の公式を使うことで計算を簡単にできます：

$$x^2 - 9y^2 = (x - 3y)(x + 3y)$$

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2. $x - 3y$ と $x + 3y$ を計算する

• $x = 143, \, y = 47$ を代入します。

1. $x - 3y$ を計算：

$$x - 3y = 143 - 3 \times 47 = 143 - 141 = 2$$

2. $x + 3y$ を計算：

$$x + 3y = 143 + 3 \times 47 = 143 + 141 = 284$$

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3. 結果を掛け算する

式は次のようになります：

$$x^2 - 9y^2 = (x - 3y)(x + 3y) = 2 \times 284$$

掛け算を計算します：

$$2 \times 284 = 568$$

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答え

$$568$$

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ポイント

1. 差の二乗の公式を使うと簡単に解ける

   $$x^2 - 9y^2 = (x - 3y)(x + 3y)$$
   

2. 符号のミスに注意

   • $x - 3y$ や $x + 3y$ を計算する際に、正しい符号をつける。

3. 大きな数の掛け算は分解して考えると楽

• 例えば、$2 \times 284$ を $2 \times (280 + 4)$ に分けて計算する。

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