令和6年都立高校 (数学）※3

 

問題

$(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+6)$　を計算せよ。

解説

ステップ 1: 　公式の確認

この問題は、2つの項の積を展開する問題です。分配法則を用いて

計算します。分配法則により、以下のように展開します。

$(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+6)=(\sqrt{7})(\sqrt{7})+(\sqrt{7})(6)-(1)(\sqrt{7})-(1)(6)<br><br>$

ステップ 2:　各項を計算

それぞれの項を計算します。

1. $(\sqrt{7})(\sqrt{7})=7$
   
   
2. $(\sqrt{7})(6)=6\sqrt{7}$
   ​
3. $-(1)(\sqrt{7})=-\sqrt{7}$
   ​
4. $-(1)(6)=-6$
   

ステップ 3: 項をまとめる

計算結果をまとめます

$7+6\sqrt{7}-\sqrt{7}-6$

整数部分とルートの項をそれぞれ整理します

$(7-6)+(6\sqrt{7}-\sqrt{7})=1+5\sqrt{7}$
​

答え

$1+5\sqrt{7}$

覚えるべきポイント

$(a-b)(a+c)$ の公式を使う。　

$(a-b)(a+c)$ の公式は、以下のように展開されます

$$<b><span\; style="font-size:\; medium;">(</span></b>\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">a</span></b>}<b><span\; style="font-size:\; medium;">-</span></b>\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">b</span></b>}<b><span\; style="font-size:\; medium;">)</span></b><b><span\; style="font-size:\; medium;">(</span></b>\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">a</span></b>}<b><span\; style="font-size:\; medium;">+</span></b>\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">c</span></b>}<b><span\; style="font-size:\; medium;">)</span></b><b><span\; style="font-size:\; medium;">=</span></b>{\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">a</span></b>}}^{\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">2</span></b>}}<b><span\; style="font-size:\; medium;">+</span></b><b><span\; style="font-size:\; medium;">(</span></b>\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">c</span></b>}<b><span\; style="font-size:\; medium;">-</span></b>\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">b</span></b>}<b><span\; style="font-size:\; medium;">)</span></b>\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">a</span></b>}<b><span\; style="font-size:\; medium;">-</span></b>\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">b</span></b>}\mathrm{<b><span\; style="font-size:\; medium;">c<br><br></span></b>}$$

公式の意味

• 最初の項 $a^2$: $a$ を2回掛けた結果（平方）。
• 次の項 $(c - b)a$: $c - b$ を計算した結果に $a$ を掛けたもの。
• 最後の項 $-bc$: $-b \times c$ の掛け算結果。

例

もし、$(x-2)(x+3)\; を展開する場合：$

1. $a=\mathrm{x、}$$b=\mathrm{2、}$$c = 3$ を公式に当てはめる。
2. $a^2 = x^2$
   
3. $(c - b)a = (3 - 2)x = x$
   
4. $-bc = -2 \times 3 = -6$
   

結果：

$$(x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$$

1. 各項を順番に計算して足し合わせる。
2. ルートの計算や符号の扱いを間違えないようにする。　

【問題】

$(a - b)(a + c)$ を展開する。

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【公式を忘れた場合の解き方】

ステップ1：カッコを外して計算する

$(a-b)(a+c)$ のような式があれば、カッコ内の項を順番に掛け算していきます。

1. 最初の項 $a$ を全部に掛ける
   $a \times (a + c)$　を計算すると、

   $$a \times a + a \times c = a^2 + ac$$

2. 次に -b を全部に掛ける
   $-b \times (a + c)$ を計算すると、

   $$-b \times a + (-b) \times c = -ba - bc$$

ステップ2：すべてを足し合わせる

それぞれの結果を足し合わせると、

$$a^2 + ac - ba - bc$$

ステップ3：似た項を整理する

$-ba$ は $-ab$ と同じなので、順番を揃えるとわかりやすくなります。

$$a^2 + (c - b)a - bc$$

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【簡単な例で練習】

問題

$(x-2)(x+3)\; を展開する。$

1. 最初の $x$ を全部に掛ける
   $x \times (x + 3) = x^2 + 3x$
   

2. 次に $-2$ を全部に掛ける
   $-2\times (x+3)=-2x-6$

3. すべてを足し合わせる
   $x^2 + 3x - 2x - 6$
   

4. 似た項を整理する
   $x^2 + (3x - 2x) - 6 = x^2 + x - 6$

【覚えるべきポイント】

• 公式を覚えなくても、カッコの中身を順番に掛け算していけばOK！
• 順番に計算して足し合わせ、最後に似た項を整理するだけ！
• 一つずつ丁寧に掛ければ、必ず解ける。

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公式が思い出せなくても、落ち着いてこの手順を思い出してください。絶対に得点できます！

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