ルートの有理化
ルート（平方根）が分母にある場合、そのままでは計算がしにくいことがあります。そのため、分母からルートを取り除く操作を 「有理化」 といいます。 有理化の基本ルール 分母が単純なルートの場合 分母が a \sqrt{a} の形になっているとき、分母と分子に a \sqrt{a} をかけます。 1 a = a a \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} 分母がルートを含む加減の場合（共役を利用） 分母が a + b や a − bの形の場合、分母と分子に 共役をかけます 1 a + b = a − b a − b 2 \frac{1}{\sqrt{a} + b} = \frac{\sqrt{a} - b}{a - b^2} ※ 共役とは？ 「共役」とは、ルートを含む式において、符号を反転させた式のことです。 例えば： a + b \sqrt{a} + b a − b \sqrt{a} - b 共役を利用する理由 分母にルートを含む場合、有理化するためには分母をルートが含まれない形（整数や単純な式）に変える必要があります。 これを実現するために、 分母と分子に共役をかける 操作を行います。 共役をかけると、「和と差の積」の公式を使えるため、次のように計算が簡単になります： ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 具体例で解説 例題 1 2 + 1 \frac{1}{\sqrt{2} + 1} 解き方 共役を確認 分母が 2 + 1 \sqrt{2} + 1 分母と分子に共役をかける 1 2 + 1 ⋅ 2 − 1 2 − 1 \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} 分母を計算する（和と差の積を利用） ( 2 + 1 ) ( 2 − 1 ) = ( 2 ) 2 − ( 1 ) 2 = 2 − 1 = 1 (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1 分母が 1 1 になるので、分子をそのまま書く 2 − 1 1 = 2 − 1 \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt...