ルートの有理化

 ルート（平方根）が分母にある場合、そのままでは計算がしにくいことがあります。そのため、分母からルートを取り除く操作を 「有理化」 といいます。

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有理化の基本ルール

1. 分母が単純なルートの場合
   分母が $\sqrt{a}$ の形になっているとき、分母と分子に $\sqrt{a}$ をかけます。

   $$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$$

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2. 分母がルートを含む加減の場合（共役を利用）
   分母が $\sqrt{a}+\mathrm{b\; や }$$\sqrt{a}-\mathrm{bの形の場合、分母と分子に\; <span\; style="font-weight:\; bold;">共役をかけます</span>}$

   $$\frac{1}{\sqrt{a} + b} = \frac{\sqrt{a} - b}{a - b^2}$$

   
   ※共役とは？

   「共役」とは、ルートを含む式において、符号を反転させた式のことです。
   例えば：

   1. $\sqrt{a} + b$
      
   2. $\sqrt{a} - b$
      

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   共役を利用する理由

   分母にルートを含む場合、有理化するためには分母をルートが含まれない形（整数や単純な式）に変える必要があります。
   これを実現するために、分母と分子に共役をかける操作を行います。

   共役をかけると、「和と差の積」の公式を使えるため、次のように計算が簡単になります：

   $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

具体例で解説

例題

$$\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$$

解き方

1. 共役を確認
   分母が $\sqrt{2} + 1$
   

2. 分母と分子に共役をかける

   $$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1}$$

3. 分母を計算する（和と差の積を利用）

   $$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$$
   

4. 分母が $1$ になるので、分子をそのまま書く

   $$\frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$$

まとめ

• 「共役」は、ルートを含む式の符号を反転させたものです。
• 有理化で使う理由は、「和と差の積」の公式を使うことで分母のルートを消せるからです。