令和6年神奈川県立高校 （数学）※3

問題:

3x2−5x−1=03x^2 - 5x - 1 = 0


この二次方程式を解きます。

解説

1. 解の公式を使います

二次方程式の解の公式：

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

この式を使うために、係数 aa, bb, cc を確認します。

2. 係数を確認する

式：

3x2−5x−1=03x^2 - 5x - 1 = 0

ここから：

a=3, b=−5, c=−1a = 3, \, b = -5, \, c = -1

3. 解の公式に代入する

公式：

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

これに a=3a = 3, b=−5, c=−1c = -1 を代入します：

x=−(−5)±(−5)2−4(3)(−1)2(3)x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}

4. 計算を進める

  • b2=(−5)2=25b^2 = (-5)^2 = 25
  • 4ac=4⋅3⋅(−1)=−124ac = 4 \cdot 3 \cdot (-1) = -12
  • b2−4ac=25−(−12)=25+12=37

公式は次のようになります：

x=5±376x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}

5. 結果を整理する

解は次の2つ：

x=5+376,x=5−376x = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \quad x = \frac{5 - \sqrt{37}}{6}

答え

x=5±376x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}

覚えるべきポイント

  1. 解の公式を正確に使う

    • b2−4acb^2 - 4ac を間違えないように計算する。

  2. 平方根を簡単にする

    • b2−4ac\sqrt{b^2 - 4ac} の部分は素因数分解で簡単にできる場合もあるので確認する。

  3. 分母を忘れない

    • 最後に 12a\frac{1}{2a} を掛けることを忘れずに！

解の公式を覚える方法

解の公式はこうなっています：

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

式を覚えるコツ

  1. 公式のパターンを声に出して覚える

    • 「マイナス bb、プラスマイナス、ルート、b2−4acb^2 - 4ac、全部割る2a」とリズムで覚える。

  2. 簡単な例題で使う練習をする

    • 例題：x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0 解の公式に代入して解くことで慣れます。

  3. 意味を理解する

    • 「−b-b」はグラフの中心の位置、「b2−4ac\sqrt{b^2 - 4ac}」はグラフが2つの解を持つかどうかを教えてくれる部分です。

  4. たくさん解いて慣れる

    • 計算に慣れると、公式を使うスピードがどんどん上がります。

解の公式を使うメリット

  1. 因数分解できない二次方程式も確実に解ける。
  2. 平方完成をしなくてもすぐに答えが出せる。
  3. 応用問題（分数やルートが入る場合）にも対応できる。

令和6年 神奈川 1　2　3　4　5　6　7

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