令和6年神奈川県立高校 （数学）※4

 問題:

$$y = ax^2$$

について、$x$ の範囲が $-3 \leq x \leq 2$ のとき、$y$ の範囲が $0 \leq y \leq 6$ である。このときの $\mathrm{a\; の値を求めなさい。}$

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解説

1. 問題のポイント

• 式 $y = ax^2$ は、$x^2$ の値を $a$ に掛けたものです。
• $x^2$ は必ず0以上になるため、$y$ も0以上になります。
• この式では、$x^2$ が最大のときに $\mathrm{y\; も最大、最小のときに }$$y$ も最小になります。

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2. $x^2$ の範囲を調べる

• $x^{\mathrm{2\; は、}}$$x = -3$ または $x = 3$ のとき最大になります。 $$x^2 = (-3)^2 = 9$$
  
• $x = 0$ のとき、$x^2$ は最小で $$x^2 = 0$$
  

したがって、$x^2$ の範囲は $0 \leq x^2 \leq 9$ です。

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3. $y = ax^2$ を考える

$y$ の範囲が $0 \leq y \leq 6$ なので、最大値 $\mathrm{6\; のときに }$$x^2 = 9$ が対応します。

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4. $a$ の値を求める

$y = ax^2$ で最大値が $y = 6$、対応する $x^2 = 9$ のとき：

$$6 = a \cdot 9$$

$a$を求めると：

$$a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

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答え

$$a = \frac{2}{3}$$

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覚えるべきポイント

1. $y = ax^2$ のような二次関数では、$\mathrm{y\; の最大値・最小値は }$$x^2$ の最大値・最小値に依存します。
2. $x^2$ は必ず正または0になるため、問題の範囲をしっかり確認する。
3. 最大値と最小値を対応させて $a$ を計算します。

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