令和3年都立高校（数学・後期）

 

[問1]

−3−12×6-3 - \frac{1}{2} \times 6

を計算せよ。

解説

計算の順序は、「掛け算・割り算を先に行い、その後足し算・引き算を行う」が基本です。

  1. 12×6\frac{1}{2} \times 6 を計算します：

    12×6=3\frac{1}{2} \times 6 = 3

  2. 次に、−3−3-3 - 3 を計算します：

    −3−3=−6-3 - 3 = -6

解答

−6

[問2]

a+74+a−98\frac{a + 7}{4} + \frac{a - 9}{8}

を計算せよ。

解説

分母を揃えて計算します。

  1. 左側の項を分母8に揃えます（分母と分子に2を掛けます）：

    a+74=2(a+7)8=2a+148\frac{a + 7}{4} = \frac{2(a + 7)}{8} = \frac{2a + 14}{8}

  2. 式全体を統一します：

    2a+148+a−98\frac{2a + 14}{8} + \frac{a - 9}{8}

  3. 分子同士をまとめて計算します：

    (2a+14)+(a−9)=2a+a+14−9=3a+5(2a + 14) + (a - 9) = 2a + a + 14 - 9 = 3a + 5

  4. 結果を分母8で割る形にします：

    3a+58\frac{3a + 5}{8}

解答

3a+58\frac{3a + 5}{8}

[問3]

(35+6)(35−6)\left( 3\sqrt{5} + 6 \right)\left( 3\sqrt{5} - 6 \right)

を計算せよ。

解説

これは、差積の公式 (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2　を利用して計算します。

  1. それぞれの項を確認します：

    a=35, b=6a = 3\sqrt{5}, \, b = 6

  2. 差積の公式を適用します：

    (35)2−62(3\sqrt{5})^2 - 6^2

  3. 各項を計算します：

    (35)2=9×5=45, 62=36(3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45, \, 6^2 = 36

  4. 差を計算します：

    45−36=945 - 36 = 9

解答

99

[問4]

一次方程式

2(x+8)=7−x2(x + 8) = 7 - x

を解け。

解説

方程式を解く際は、括弧を展開し、未知数を一方にまとめます。

  1. 左辺を展開します：

    2x+16=7−x2x + 16 = 7 - x

  2. x を含む項を左辺に、定数項を右辺に移項します：

    2x+x=7−162x + x = 7 - 16

  3. 計算を進めます：

    3x=−93x = -9

  4. 両辺を3で割り、xx を求めます：

    x=−3x = -3

解答

x=−3x = -3

[問5]

連立方程式

{5x−3y=9y=x+1\begin{cases} 5x - 3y = 9 \\ y = x + 1 \end{cases}

を解け。

解説

代入法を用いて解きます。

  1. 下の式 y=x+1y = x + 1 を上の式に代入します：

    5x−3(x+1)=95x - 3(x + 1) = 9

  2. 括弧を展開し、整理します：

    5x−3x−3=9⇒2x−3=95x - 3x - 3 = 9 \quad \Rightarrow \quad 2x - 3 = 9

  3. xx を求めます：

    2x=12⇒x=62x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 6

  4. x=6x = 6 を下の式に代入して y を求めます：

    y=6+1=7y = 6 + 1 = 7

解答

x=6, y=7x = 6, \, y = 7

[問6]

二次方程式

x2−5x−4=0x^2 - 5x - 4 = 0

を解け。

解説

解の公式を用いて解きます。解の公式は次の通りです：

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

ここで、a=1a = 1, b=−5b = -5, c=−4c = -4 です。

  1. 各値を解の公式に代入します：

    x=−(−5)±(−5)2−4(1)(−4)2(1)x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}

  2. 符号を整理して計算を進めます：

    x=5±25+162x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2}

  3. 判別式を計算します：

    25+16=41\sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}

  4. 式を簡潔にまとめます：

    x=5±412x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}

解答

x=5±412

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