令和2年都立高校（数学・後期）

 

[問1]

$$-3 + 8 \times \frac{1}{2}$$

を計算せよ。

解説

計算の順序は、「掛け算・割り算を先に行い、その後足し算・引き算を行う」が基本です。

1. $8 \times \frac{1}{2}$ を計算します：

   $$8 \times \frac{1}{2} = 4$$
   

2. 次に、$-3 + 4$ を計算します：

   $$-3 + 4 = 1$$
   

解答

$1$

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[問2]

$$7a + 9b - (a + 4b)$$

を計算せよ。

解説

括弧を外して項を整理します。

1. 括弧の前に「-」があるため、括弧内の符号を反転します：

   $$7a + 9b - a - 4b$$
   

2. 同類項をまとめます：

   $$(7a - a) + (9b - 4b) = 6a + 5b$$
   

解答

$6a + 5b$

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[問3]

$$(1 - \sqrt{3})^2$$

を計算せよ。

解説

2乗の展開公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使います。

1. 各項を計算します：

   • $1^2 = 1$
     
   • $-2 \times 1 \times \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$
     
   • $(\sqrt{3})^2 = 3$
     

2. これらをまとめます：

   $$1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$$
   

解答

$4-2\sqrt{3}$

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[問4]

一次方程式

$$4x + 9 = 6x - 5$$

を解け。

解説

未知数を一方にまとめます。

1. $x$ を含む項を左辺に移項し、定数を右辺に移項します：

   $$4x - 6x = -5 - 9$$
   

2. 計算を進めます：

   $$-2x = -14$$

3. 両辺を$-2$で割ります：

   $$x = 7$$
   

解答

$x = 7$

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[問5]

連立方程式

$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x - 5y = -6 \end{cases}$$

を解け。

解説

加減法を用いて解きます。

1. 上の式を2倍して $x$ を消去します：

   $$4x + 6y = 16$$
   

2. 下の式と引き算します：

   $$(4x + 6y) - (4x - 5y) = 16 - (-6)$$

3. 計算を進めます：

   $$6y + 5y = 16 + 6 \quad \Rightarrow \quad 11y = 22$$
   

4. $\mathrm{y\; を求めます：}$

   $$y = 2$$

5. $y = 2$ を上の式に代入して $x$ を求めます：

   $$2x + 3(2) = 8 \quad \Rightarrow \quad 2x + 6 = 8 \quad \Rightarrow \quad 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$
   

解答

$x = 1, \, y = 2$

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[問6]

二次方程式

$$x^2 + x - 72 = 0$$

を解け。

解説

因数分解を用いて解きます。

1. 方程式を因数分解します：

   $$x^2 + x - 72 = (x + 9)(x - 8)$$

2. それぞれの因数を0と置きます：

   $$x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -9$$
   $$x - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 8$$
   

解答

$x = -9, \, x = 8$

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[問7]

関数 $y = 3x^2$ について、$x$ の変域が $-3 \leq x \leq 2$ のときの $y$ の変域を次のア～エから選び、記号で答えよ。

ア $-27 \leq y \leq 12$
イ $0 \leq y \leq 12$
ウ $0 \leq y \leq 27$
エ $12 \leq y \leq 27$

解説

関数 $y = 3x^2$ の値域を求めます。

1. $x = -3$ のとき：

   $$y = 3(-3)^2 = 3 \cdot 9 = 27$$

2. $x=\mathrm{2\; のとき：}$

   $$y = 3(2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$$

3. $x = 0$ のとき（最小値）：

   $$y = 3(0)^2 = 0$$

4. よって、$y$ の範囲は $0\le y\le \mathrm{27\; です。}$

解答

ウ $0 \leq y \leq 27$

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