令和6年都立高校（数学・後期）

 

[問1]

9+6÷(−12) を計算しなさい。

解説

計算の順序は「掛け算・割り算を先に行い、その後足し算・引き算を行う」が基本です。

  1. −12-\frac{1}{2} で割る操作は、−12-\frac{1}{2}の逆数である−2-2を掛ける操作と同じです。

    6÷(−12)=6×(−2)=−126 \div \left( -\frac{1}{2} \right) = 6 \times (-2) = -12

  2. 次に、9に上記の計算結果を加えます。

    9+(−12)=−39 + (-12) = -3

解答

−3-3

[問2]

3a−b4−5a+7b8\frac{3a - b}{4} - \frac{5a + 7b}{8} を計算しなさい。

解説

分数の計算では、分母を揃えて計算します。

  1. 左側の項を分母8に揃えます（分母と分子に2を掛けます）。

    3a−b4=6a−2b8\frac{3a - b}{4} = \frac{6a - 2b}{8}

  2. 式全体を統一します。

    6a−2b8−5a+7b8\frac{6a - 2b}{8} - \frac{5a + 7b}{8}

  3. 分子同士をまとめて計算します。

    (6a−2b)−(5a+7b)=6a−2b−5a−7b=a−9b(6a - 2b) - (5a + 7b) = 6a - 2b - 5a - 7b = a - 9b

  4. 計算結果を分母8で割る形にします。

    a−9b8\frac{a - 9b}{8}

解答

a−9b8\frac{a - 9b}{8}

[問3]

(6−1)2\left( \sqrt{6} - 1 \right)^2 を計算しなさい。

解説

展開公式 (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2  を利用します。

  1. 各項を計算します。

    (6)2=6,2⋅6⋅1=26,12=1(\sqrt{6})^2 = 6, \quad 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 = 2\sqrt{6}, \quad 1^2 = 1

  2. 展開結果をまとめます。

    6−26+1=7−266 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6}

解答

7−267 - 2\sqrt{6}

[問4]

一次方程式 7(x−2)=5x−47(x - 2) = 5x - 4  を解きなさい。

解説

方程式を解く際は、分配法則を利用して計算し、未知数を一方にまとめます。

  1. 左辺を展開します。

    7x−14=5x−47x - 14 = 5x - 4

  2. xx を含む項を左辺に、定数項を右辺に移項します。

    7x−5x=−4+147x - 5x = -4 + 14

  3. 計算して解を得ます。

    2x=10⇒x=52x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 5

解答

x=5x = 5

[問5]

連立方程式

{y=x+1x−2y=−9\begin{cases} y = x + 1 \\ x - 2y = -9 \end{cases}

を解きなさい。

解説

代入法を用いて解きます。

  1. 上の式 y=x+1 を下の式に代入します。

    x−2(x+1)=−9x - 2(x + 1) = -9

  2. 括弧を展開し、整理します。

    x−2x−2=−9⇒−x−2=−9x - 2x - 2 = -9 \quad \Rightarrow \quad -x - 2 = -9

  3. xx を求めます。

    −x=−7⇒x=7-x = -7 \quad \Rightarrow \quad x = 7

  4. x=7x = 7 を上の式に代入して yy を求めます。

    y=7+1=8y = 7 + 1 = 8

解答

x=7, y=8x = 7, \, y = 8

[問6]

二次方程式 x2+3x−8=0x^2 + 3x - 8 = 0 を解きなさい。

解説

因数分解または解の公式を使います。今回は解の公式を使用します。
解の公式：

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

ここで a=1, b=3, c=−8a = 1, \, b = 3, \, c = -8 です。

  1. 判別式を計算します。

    b2−4ac=32−4(1)(−8)=9+32=41b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-8) = 9 + 32 = 41

  2. 解の公式に代入します。

    x=−3±412x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{2}

解答

x=−3±412

　

[問7]

関数 y=12x2y = \frac{1}{2}x^2 について、xx の変域が −2≤x≤6-2 \leq x \leq 6 のときの yy の変域を、次のア～エから選び、記号で答えなさい。

解説

y=12x2y = \frac{1}{2}x^2の値域は xx の範囲の両端と、頂点（場合による）で決まります。

  1. x=−2x = -2 のとき：

    y=12(−2)2=12⋅4=2y = \frac{1}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2

  2. x=6 のとき：

    y=12(6)2=12⋅36=18y = \frac{1}{2}(6)^2 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18

  3. x=0x = 0 のとき（最小値を確認）：

    y=12(0)2=0y = \frac{1}{2}(0)^2 = 0

  4. よって、yy の範囲は 0≤y≤180 \leq y \leq 18 です。

解答

ウ 　0≤y≤180 \leq y \leq 18


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