令和4年都立高校（数学）

 

[問1]

$$\frac{}{}$$

$$1 - 6^2 \div \frac{9}{2}$$

を計算せよ。

解説

計算の順序は、「累乗 → 割り算 → 足し算・引き算」の順に進めます。

1. $6^2$ を計算します：

   $$6^2 = 36$$
   

2. 次に、$36 \div \frac{9}{2}$を計算します。割り算は逆数を掛ける計算に置き換えます：

   $$36 \div \frac{9}{2} = 36 \times \frac{2}{9} = \frac{72}{9} = 8$$
   

3. 最後に、$1-\mathrm{8\; を計算します：}$

   $$1 - 8 = -7$$
   

解答

$-7$

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[問2]

$$\frac{3a + b}{4} - \frac{a - 7b}{8}$$

を計算せよ。

解説

分母を揃えて計算します。

1. 左側の項を分母8に揃えます（分母と分子に2を掛けます）：

   $$\frac{3a + b}{4} = \frac{2(3a + b)}{8} = \frac{6a + 2b}{8}$$

2. 式全体を統一します：

   $$\frac{6a + 2b}{8} - \frac{a - 7b}{8}$$

3. 分子同士をまとめて計算します：

   $$(6a + 2b) - (a - 7b) = 6a + 2b - a + 7b = 5a + 9b$$
   

4. 結果を分母8で割る形にします：

   $$\frac{5a + 9b}{8}$$

解答

$\frac{5a + 9b}{8}$

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[問3]

$$(2 + \sqrt{6})^2$$

を計算せよ。

解説

2乗の展開公式 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使います。

1. 各項を計算します：

   • $2^2 = 4$
   • $2 \times 2 \times \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$
   • $(\sqrt{6}{)}^2=6$

2. これらをまとめます：

   $$4 + 4\sqrt{6} + 6 = 10 + 4\sqrt{6}$$
   

解答

$10 + 4\sqrt{6}$

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[問4]

一次方程式

$$5x - 7 = 9(x - 3)$$

を解け。

解説

方程式を展開し、未知数を一方にまとめます。

1. 右辺を展開します：

   $$5x - 7 = 9x - 27$$
   

2. $x$ を含む項を左辺に移項し、定数項を右辺に移項します：

   $$5x - 9x = -27 + 7$$
   

3. 計算を進めます：

   $$-4x = -20$$
   

4. 両辺を$-4$で割ります：

   $$x = 5$$
   

解答

$x = 5$

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[問5]

連立方程式

$$\begin{cases} x = 4y + 1 \\ 2x - 5y = 8 \end{cases}$$

を解け。

解説

代入法を用いて解きます。

1. 上の式を下の式に代入します：

   $$2(4y + 1) - 5y = 8$$

2. 括弧を展開します：

   $$8y + 2 - 5y = 8$$
   

3. $y$ を求めます：

   $$3y + 2 = 8 \quad \Rightarrow \quad 3y = 6 \quad \Rightarrow \quad y = 2$$
   

4. $y = 2$ を上の式に代入して $x$ を求めます：

   $$x = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9$$
   

解答

$x = 9, \, y = 2$

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[問6]

二次方程式

$$4x^2 + 6x - 1 = 0$$

を解け。

解説

解の公式を用います。公式は以下の通りです：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ここで、係数は $a = 4$, $b = 6$, $c = -1$ です。

1. 解の公式に代入します：

   $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)}$$

2. 判別式を計算します：

   $$\sqrt{6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$$

3. 結果を計算します：

   $$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{4}$$

解答

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{4}$

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