令和3年都立高校（数学）

 

[問1]

$$-3^2 \times \frac{1}{9} + 8$$

を計算せよ。

解説

指数、掛け算・割り算、足し算・引き算の順に計算します。

1. $-3^2$を計算します：

   $$-3^2 = -(3 \times 3) = -9$$
   

2. 次に、$-9 \times \frac{1}{9}$ を計算します：

   $$-9 \times \frac{1}{9} = -1$$
   

3. 最後に、$-1 + 8$ を計算します：

   $$-1 + 8 = 7$$
   

解答

$7$

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[問2]

$$\frac{5a - b}{2} - \frac{a - 7b}{4}$$

を計算せよ。

解説

分母を揃えて計算します。

1. 左側の項を分母4に揃えます（分母と分子に2を掛けます）：

   $$\frac{5a - b}{2} = \frac{2(5a - b)}{4} = \frac{10a - 2b}{4}$$

2. 式全体を統一します：

   $$\frac{10a - 2b}{4} - \frac{a - 7b}{4}$$

3. 分子同士をまとめて計算します：

   $$(10a - 2b) - (a - 7b) = 10a - 2b - a + 7b = 9a + 5b$$

4. 結果を分母4で割る形にします：

   $$\frac{9a + 5b}{4}$$

解答

$\frac{9a + 5b}{4}$

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[問3]

$$3 \div \sqrt{6} \times \sqrt{8}$$

を計算せよ。

解説

平方根がある場合、まず計算を進めやすくするために「分母の有理化」を行い、その後で掛け算をします。

1. $3 \div \sqrt{6}$ を有理化する

   • 分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{6}$ を掛けます： $$3 \div \sqrt{6} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

2. $\sqrt{8}$ を分解して計算を簡単にする

   • $\sqrt{8}$​

3. $\frac{\sqrt{6}}{2} \times 2\sqrt{2}$ を計算する

   • まず分母の $2$ と分子の $2$ を約分します：

     $$\frac{\sqrt{6}}{2} \times 2\sqrt{2} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2}$$

   • $\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}$ を計算します：

     $$\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12}$$

4. $\sqrt{12}$ を簡単にする

   • $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

解答

$2\sqrt{3}$

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[問4]

一次方程式

$$-4x + 2 = 9(x - 7)$$

を解け。

解説

方程式を展開し、未知数を一方にまとめます。

1. 右辺を展開します：

   $$-4x + 2 = 9x - 63$$

2. $x$ を含む項を左辺に移項し、定数項を右辺に移項します：

   $$-4x - 9x = -63 - 2$$
   

3. 計算を進めます：

   $$-13x = -65$$
   

4. 両辺を$-13$で割ります：

   $$x = 5$$
   

解答

$x = 5$

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[問5]

連立方程式

$$\begin{cases} 5x + y = 1 \\ -x + 6y = 37 \end{cases}$$

を解け。

解説

代入法を用いて解きます。

1. 上の式を $y$ について解きます：

   $$y = 1 - 5x$$
   

2. これを下の式に代入します：

   $$-x + 6(1 - 5x) = 37$$

3. 括弧を展開し、整理します：

   $$-x + 6 - 30x = 37 \quad \Rightarrow \quad -31x + 6 = 37$$
   

4. $x$ を求めます：

   $$-31x = 31 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$
   

5. $x = -1$ を上の式 $y = 1 - 5x$ に代入して $y$ を求めます：

   $$y = 1 - 5(-1) = 1 + 5 = 6$$
   

解答

$x = -1, \, y = 6$

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[問6]

二次方程式

$$(x + 8)^2 = 2$$

を解け。

解説

平方根を用いて解きます。

1. 両辺の平方根を取ります：

   $$x + 8 = \pm \sqrt{2}$$
   

2. 定数を右辺に移項します：

   $$x = -8 \pm \sqrt{2}$$
   

解答

$x = -8 \pm \sqrt{2}$

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