令和6年大阪 （数学A）※2

 

(1) $a = 6$ のとき、$3a-\mathrm{5\; の値を求めなさい。}$

• 式に $a = 6$ を代入します。

$$3a - 5 = 3 \times 6 - 5 = 18 - 5 = 13$$

答え：13

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(2) $-4.8$ より大きく $2.2$ より小さい整数の個数を求めなさい。

• 整数は、小数点以下がない数です。この範囲内の整数は次の通りです： $$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$$
  
• 個数を数えると、7個です。 答え：7個

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(3) 次のア～エの式のうち、「重さ $\mathrm{a\; kg\; の荷物1個と重さ }$$b$ kg の荷物1個の重さの合計は 5kg より重い。」という数量の関係を正しく表しているものはどれですか。

• 条件：「合計が5kgより重い」→ $a + b > 5$ 　答え： $a + b > 5$
  

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(4) 連立方程式 $\begin{cases} 5x + 2y = 11 \\ x + 2y = 15 \end{cases}$ を解きなさい。

1. 2つの式を引き算します：

$$(5x + 2y) - (x + 2y) = 11 - 15$$
$$4x = -4 \quad \therefore \quad x = -1$$

2. $x = -1$ を $x+2y=\mathrm{15\; に代入します：}$

$$-1 + 2y = 15 \quad \therefore \quad 2y = 16 \quad \therefore \quad y = 8$$

答え：$x = -1$, $y = 8$

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(5) 2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積が6である確率はいくらですか。

1. 出る目の積が6になる組み合わせを探します：

   $$(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$$

   → 全部で4通り

2. さいころ2つの出目の全通りは：

   $$6 \times 6 = 36 \text{通り}$$

3. 確率を計算します：

   $$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$

答え：$\frac{1}{9}$

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(6) 

【解説】　※もっともらしい解説をつけましたがこのタイプの式はこのグラフの形です

1. 関数 $y = \frac{a}{x}$ の特徴
   • $a>0$ の場合、グラフは第1象限と第3象限に現れます。
   • これは、$x > 0$ のとき $y > 0$、$x < 0$ のとき $y < 0$ となるためです。
   • グラフは原点を通らず、漸近線として $\mathrm{x-軸（}$$y = 0$）と $y$-軸（$x = 0$）があります。

2. 各選択肢を確認：
   • ア：直線のグラフであり、不適切。
   • イ：直線のグラフであり、不適切。
   • ウ：第1象限と第3象限にカーブが描かれており、漸近線を持つため適切。
   • エ：第2象限と第4象限にカーブが描かれており、不適切（これは $a < 0$ の場合のグラフに対応します）。

答え：ウ　

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問題：二次方程式 

$x^2 - 9x + 14 = 0$ を解きなさい。

解説：

手順1: 因数分解を試みる

1. 二次方程式 $x^2-9x+14=\mathrm{0\; を観察します。}$
2. 係数14を掛け算で表せる数の組み合わせを探します： $$1 \times 14, \quad 2 \times 7$$
   
3. 和が $-9$ になる組み合わせは $-\mathrm{7\; と }$$-\mathrm{2\; です。}$

手順2: 因数分解

方程式を因数分解します：

$$x^2-9x+14=(x-7)(x-2)=0$$

手順3: 解を求める

因数分解した式から解を求めます：

$$x - 7 = 0 \quad \therefore \quad x = 7$$
$$x-2=0\therefore x=2$$

答え：

$$x=2,x=7\mathrm{<br>}$$

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問題：

ある工場で生産された「製品 A」がたくさんある。それらのうちから400個を無作為に抽出して検査したところ3個の不良品が含まれていた。標本調査の考え方を用いると、この工場で生産された「製品 A」5000個の中に含まれる不良品の個数はおよそ何個と推定できますか。答えは小数第1位を四捨五入して整数で書くこと。

解説：

手順1: 不良品率を求める

検査した400個の中で3個が不良品だったので、不良品率は次のように求められます：

$$\text{不良品率} = \frac{\text{不良品の個数}}{\text{検査した個数}} = \frac{3}{400} = 0.0075$$

手順2: 全体の不良品数を推定する

全体の製品数は5000個なので、全体に含まれる不良品の推定個数は：

$$\text{全体の不良品数} = \text{不良品率} \times \text{全体の個数} = 0.0075 \times 5000 = 37.5$$

手順3: 四捨五入して整数にする

37.5を四捨五入すると、38個となります。

答え：

$$\boxed{{\displaystyle 38}}$$

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解説：

手順1: 関数の式に点を代入する

関数 $y = ax^2$ に、点 $A(-4, 5)$ の座標を代入します：

$$y = a x^2 \quad \text{なので、} \quad 5 = a(-4)^2$$

手順2: 計算する

$$5 = a \cdot 16 \quad \therefore \quad a = \frac{5}{16}$$

答え：

$$a=\frac{5}{\mathrm{16}}$$

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解説 (1): 辺 $AB$ と平行な辺を探す

• 辺 $AB$ は上面 $ABC\mathrm{D\; にある辺で、長さ }$$6 \, \mathrm{cm}$ です。
• 図を確認すると、対応する平行な辺は下面 $EFGH$ に位置する 辺 $HG$（または $GH$）です。

答え：エ 辺 $HG$

(2) 立体 $CGHF$ の体積を求めなさい。

解説 (2): 四面体 $CGHF$ の体積

1. 立体の特性を確認：

   • $CGHF$ は直方体を対角線上で分割した四面体です。
   • 底面：三角形 $CGH$
   • 高さ：頂点 $F$ から底面 $CGH$ に垂直に下ろした距離（直方体の高さ $AE = 7 \, \mathrm{cm}$ に対応）。

2. 底面 $CGH$ の面積を求める：

   • $CGH$ は三角形であり、底辺と高さを使います。
     • 底辺：$CH = 6 \, \mathrm{cm}$（辺 $AB$ に対応）
     • 高さ：$GH=5\mathrm{c}\mathrm{m（辺 }$$AD$ に対応）
   $$\text{底面積} = \frac{1}{2} \times CH \times GH = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15 \, \mathrm{cm}^2$$
   

3. 三角錐の体積を求める：

   • 四面体の体積公式を適用：
   $$V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$$
   
   • 高さは $\mathrm{F\; から底面 }$$CGH$ までの距離 $7\mathrm{c}\mathrm{m}$
   $$V = \frac{1}{3} \times 15 \times 7 = \frac{1}{3} \times 105 = 35 \, \mathrm{cm}^3$$

答え：

1. (1) エ 辺 $HG$
   
2. (2) $35 \, \mathrm{cm}^3$