令和６年 秋田 公立高校（数学）

 箱ひげ図の問題をチラホラ見かけますので計算問題に含めておきました。

簡単なことを難しい言葉で説明しているだけですので何をいってるかだけ

理解できていればＯＫです。

問1

$$6-2\times \mathrm{5\; を計算しなさい。}$$

解説

掛け算を先に計算します。

$$2 \times 5 = 10$$

次に、引き算を行います。

$$6 - 10 = -4$$

解答

$-4$

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問2

$$5(x+2y)-2(4x-y)\; を計算しなさい。$$

解説

括弧を展開します。

$$5(x + 2y) = 5x + 10y, \quad -2(4x - y) = -8x + 2y$$

これらをまとめます。

$$5x - 8x + 10y + 2y = -3x + 12y$$

解答

$-3x + 12y$

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問3

$\mathrm{90\; を素因数分解しなさい。}$

解説

順番に素数で割ります。

$$90 \div 2 = 45, \quad 45 \div 3 = 15, \quad 15 \div 3 = 5$$

素因数分解の結果：

$$90 = 2 \times 3^2 \times 5$$

解答

$90 = 2 \times 3^2 \times 5$

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問4

$x=3,y=-\mathrm{2、}$

$$\frac{1}{3}{x}^2{y}^3÷2x\mathrm{y\; の値を求めなさい。}$$

解説

1. $\frac{1}{3}x^2y^3$ を計算します。 $$\frac{1}{3}(3^2)(-2)^3 = \frac{1}{3}(9)(-8) = \frac{-72}{3} = -24$$
   
2. $2xy$ を計算します。 $$2 \cdot 3 \cdot (-2) = -12$$
   
3. 割り算を行います。 $$-24 \div -12 = 2$$
   

解答

$2$

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問5

$$\sqrt{32}-\sqrt{50}+\sqrt{27}$$

を計算しなさい。

解説

それぞれの平方根を簡単にします。

$$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}, \quad \sqrt{50} = 5\sqrt{2}, \quad \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

これらをまとめます。

$$4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = -\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$$

解答

$-\sqrt{2}+3\sqrt{\mathrm{3}}$

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問6

$$0.8x+4=1.5x-\mathrm{0.9\; を解きなさい。}$$

解説

1. 文字を移項します。 $$0.8x - 1.5x = -0.9 - 4 \quad \Rightarrow \quad -0.7x = -4.9$$
   
2. 両辺を $-0.7$ で割ります。 $$x = \frac{-4.9}{-0.7} = 7$$
   

解答

$x = 7$

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問7

$$\begin{cases} 2x - y = 7 \\ 5x + 3y = 1 \end{cases}$$

を解きなさい。

解説

1. 第1式を変形して $y = 2x - 7$ を求めます。
2. 第2式に代入して、 $$5x + 3(2x - 7) = 1 \quad \Rightarrow \quad 11x - 21 = 1 \quad \Rightarrow \quad 11x = 22 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$
   
3. $x = 2$ を第1式に代入して、 $$2(2) - y = 7 \quad \Rightarrow \quad 4 - y = 7 \quad \Rightarrow \quad y = -3$$
   

解答

$x=2,y=-3$

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問8

$$x^2-2x=\mathrm{24\; を解きなさい。}$$

解説

1. 方程式を整理して： $$x^2 - 2x - 24 = 0$$
   
2. 因数分解： $$(x - 6)(x + 4) = 0$$
   
3. 解を求めます： $$x = 6, \, x = -4$$
   

解答

x=6, x=−4

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問9

右の表は、クイズ大会に参加した9人の得点である。
表をもとにして、箱ひげ図をかくと、下の図のようになった。
$a,\mathrm{b\; の値を求めなさい。}$

$$

解説

1. データを小さい順に並べる

データを昇順に並べます：

$$5,9,9,13,14,15,16,17,20$$

2. 箱ひげ図に必要な値を求める

1. 最小値（箱ひげ図の一番左端）
   データの中で一番小さい値は 5。

2. 第一四分位数（Q1、箱の左端）
   データを下半分に分けた中央値を求めます。下半分のデータは：

   $$5,9,9,13$$
   

   この中央値は：

   $$Q1 = \frac{9 + 9}{2} = 9$$
   

3. 中央値（Q2、箱の中央）
   データ全体の中央値を求めます（真ん中の値）

   $$Q2=14$$
   

4. 第三四分位数（Q3、箱の右端）
   データを上半分に分けた中央値を求めます。上半分のデータは：

   $$15,16,17,20$$

   この中央値は

   この中央値は：

   $$Q3 = \frac{16 + 17}{2} = 16.5$$
   

5. 最大値（箱ひげ図の一番右端）
   データの中で一番大きい値は 20。

3. $a,b$ の値を確認

箱ひげ図において：

• $a=Q1=9$
• $b=Q3=16.5$

解答

$$a=9,b=16.5\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;"> </span>}$$

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問10

$$n^2-20n+\mathrm{91 }$$

の値が素数になる自然数 $n$ をすべて求めなさい。

解説

1. 式を因数分解する

$$n^2 - 20n + 91 = (n - 7)(n - 13)$$

この積が素数になるためには、次の条件が満たされる必要があります：

1. $n - 7$ または $n - 13$ のどちらか一方が1になる。

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2. $n - 7 = 1$ の場合

$$n - 7 = 1 \quad \Rightarrow \quad n = 8$$

この場合、もう一方の因数は

$$n - 13 = -5$$

となり、積の値が負になるため、素数にはなりません。

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3. $n - 13 = 1$ の場合

$$n - 13 = 1 \quad \Rightarrow \quad n = 14$$

この場合、もう一方の因数は

$$n - 7 = 7$$

となり、積は$7$、つまり素数です。

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4. 自然数全域を検証する

因数分解の条件以外にも、式に直接自然数を代入してすべての値を検証します。

1. $n = 6$
   

   $$n^2 - 20n + 91 = 6^2 - 20 \cdot 6 + 91 = 36 - 120 + 91 = 7$$
   

   素数。

2. $n=14$

   $$n^2 - 20n + 91 = 14^2 - 20 \cdot 14 + 91 = 196 - 280 + 91 = 7$$
   

   素数。

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解答
$n = 6, \, n = 14$

※「この積が素数になるためには」の意味をわかりやすく説明

$$n^2 - 20n + 91 = (n - 7)(n - 13)$$

この式は2つの数、$(n - 7)$ と $(n - 13)$ の掛け算になっています。素数とは、「1と自分自身以外の数では割り切れない数」のことです。
例えば、7や13は素数です。

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素数になる条件：
掛け算で素数ができるためには、どちらか一方の数が「1」である必要があります。なぜなら：

• 例えば、$(1) \times (7)$のように、一方が1であればもう一方の数がそのまま素数になります。
• 一方が2以上の場合、掛け算の結果は素数になりません。（例：$2\times 3=\mathrm{6、素数ではない）}$

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具体的に考える

$(n-7)(n-13)\; という掛け算が素数になるために、次の2つのケースを考えます：$

1. $n - 7 = 1$ の場合：
   このとき、$(n-13)\; が素数になります。$

2. $n - 13 = 1$ の場合：
   このとき、$(n - 7)$ が素数になります。