関数の基本

1次関数

1次関数は、直線を表す関数です。

一般式：

$$y = ax + b$$

• $a$: 傾き（xの増加量に対するyの増加量）
• $b$: 切片（y軸との交点）

例題

関数 $y = 2x + 3$ のグラフを書いたとき：

1. 傾き $a = 2$
   
2. 切片 $b = 3$
   

• 点 $(0, 3)$ を通り、傾きが2の直線となります。

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2. 反比例

反比例は、曲線を表す関数です。

一般式：

$$y = \frac{k}{x} \quad (x \neq 0)$$

• $k$: 定数（比例定数）

例題

関数 $y = \frac{6}{x}$ のグラフを書くとき：

• $x = 1$ のとき、$y = 6$
  
• $x = 2$ のとき、$y = 3$
  
• $x = -1$ のとき、$y = -6$
  

グラフは、原点を通らず、x軸とy軸に近づく2つの曲線になります。

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3. 2次関数

2次関数は放物線を表す関数です。

一般式：

$$y = ax^2 + bx + c$$

• $a>\mathrm{0:\; 上に開く放物線}$
• $a < 0$: 下に開く放物線

例題

関数 $y = x^2 - 4x + 3$ の場合：

• 頂点を求めるには、頂点のx座標が $x = -\frac{b}{2a}$ を使います。
• この場合、$x=\mathrm{2、}$$y=-\mathrm{1\; が頂点です。}$

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4. グラフの交点（1次関数と1次関数の場合）

2つの関数の交点は、連立方程式を解いて求めます。

例題

次の関数の交点を求めなさい：

1. $y = 2x + 1$
   
2. $y = -x + 4$
   

解き方
2つの式を連立：

$$2x + 1 = -x + 4$$
$$3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

$x = 1$ をどちらかの式に代入：

$$y = 2(1) + 1 = 3$$

答え：交点は $(1, 3)$