令和6年大阪(数学C)※1

 さすがに数学Cはサービス悪いですね。

冒頭の5問全部できても24点にしかなりませんがとりあえずやりましょうか。


(1) 問題:

2x3y4+x+4y6\frac{2x - 3y}{4} + \frac{x + 4y}{6}

を計算しなさい。

解き方:

  1. 分母の通分
    44 と 66 の最小公倍数は 1212 なので、分数を通分します。

    2x3y4=6x9y12,x+4y6=2x+8y12\frac{2x - 3y}{4} = \frac{6x - 9y}{12}, \quad \frac{x + 4y}{6} = \frac{2x + 8y}{12}
  2. 分子を足し合わせる

    6x9y12+2x+8y12=8xy12\frac{6x - 9y}{12} + \frac{2x + 8y}{12} = \frac{8x - y}{12}

答え:

8xy12​


(2) 問題:

(1+6)28+1032(1 + \sqrt{6})^2 - \frac{\sqrt{8} + 10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

を計算しなさい。

解き方:

  1. 平方の展開

    (1+6)2=12+216+(6)2=7+26(1 + \sqrt{6})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 7 + 2\sqrt{6}
  2. 分母の有理化

    8+1032=222+1032=2+56\frac{\sqrt{8} + 10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2 + 5\sqrt{6}
  3. 引き算を行う

    (7+26)(2+56)=536(7 + 2\sqrt{6}) - (2 + 5\sqrt{6}) = 5 - 3\sqrt{6}

答え:

5365 - 3\sqrt{6}


(3) 問題:

(x7)24(x7)=0(x - 7)^2 - 4(x - 7) = 0

を解きなさい。

解き方:

  1. 置き換え
    y=x7y = x - 7 とすると、式は次のようになります。

    y24y=0y^2 - 4y = 0
  2. 因数分解

    y(y4)=0y(y - 4) = 0
  3. 解を求める

    y=0またはy=4y = 0 \quad \text{または} \quad y = 4

    ここで y=x7y = x - 7:

    x=7またはx=11x = 7 \quad \text{または} \quad x = 11

答え:

x=7,11x = 7, \, 11


(4) 問題:

関数 y=14x2y = -\frac{1}{4}x^2 について、x の変域が 6xa-6 \leq x \leq ayy の変域が 16yb-16 \leq y \leq b のとき、a,  の値をそれぞれ求めなさい。

解き方:

  1. 範囲を確認
    x=6x = -6 のとき:

    y=14(6)2=9y = -\frac{1}{4}(-6)^2 = -9

    最大値は y=0y = 0(頂点を通過するため)

  2. 最小値から aa を求める
    y=16 のとき:

    16=14x2x2=64x=±8-16 = -\frac{1}{4}x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 8

    よって、a=8a = 8


答え:

a=8,b=0a = 8, \, b = 0


(5) 問題:

x を有理数とする。

3512x2120x\frac{35}{12}x \quad \text{と} \quad \frac{21}{20}x

の値がともに自然数となる最も小さい xx の値を求めなさい。

解き方:

  1. 各条件を確認
    3512x\frac{35}{12}x が自然数となるには、xx が 1212 の倍数である必要があります。


  2. 2120x\frac{21}{20}x が自然数となるには、xx2020 の倍数である必要があります。

  3. 最小公倍数を求める
    1212 と 2020 の最小公倍数は:

    6060
  4. 値を自然数にするための条件を確認
    x=607x = \frac{60}{7} をかけると、両式の値が自然数になります。

    • 3512x=3512607=25\frac{35}{12}x = \frac{35}{12} \cdot \frac{60}{7} = 25

    • 2120x=2120607=9\frac{21}{20}x = \frac{21}{20} \cdot \frac{60}{7} = 9

答え:

x=607x = \frac{60}{7}

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