令和6年大阪（数学B）※2

(1) $a=-\mathrm{3, }$$b=\mathrm{4のとき、 }$$8a + b^2$の値を求めなさい。

解答と解説：

$$8a + b^2 = 8(-3) + 4^2$$
$$= -24 + 16$$
$$= -8$$

答え：$-8$

---

(2) $a$ を負の数、 $b$ を正の数とする。次の $ア \sim エ$ の式のうち、その値がつねに正になるのはどれか。

• ア: $ab$（負 × 正 = 負）
• イ: $a + b$（負 + 正 → 値は条件次第で負にもなる）
• ウ: $-a + b$（負の負 → 正なので正 + 正 = 正）
• エ: $a - b$（負 - 正 = 負）

正解：$\textbf{ウ}$

---

(3) 二次方程式 $x^2 - 7x + 5 = 0$ を解きなさい。

解答と解説：

二次方程式の解の公式を使用します：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

ここで、$a = 1$, $b = -7$, $c = 5$ です。

$$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 20}}{2}$$ $$x = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2}$$

答え：$$x=\frac{7\pm \sqrt{29}}{2}$$
​

---

(4) $n$ を自然数とする。 $\sqrt{44n}$ が自然数となる最小の $n$ を求めなさい。

解答と解説：

$\sqrt{44n}$ が自然数となるためには、$44n$ が完全平方数である必要があります。 $44 = 2^2 \times 11$ と素因数分解できます。よって、$\mathrm{n\; が }$$11$ を1つ補完すれば完全平方数になります。

$$n = 11$$

答え：$n = 11$

$\mathbf{\text{<br>}}$

---

(5) ２から６までの自然数が書いてある５枚のカード2.3.4.5.6が箱に入っている。この箱から2枚のカードを同時に取り出し、取り出した2枚のカードに書いてある数の和をａ、積をｂとするときｂ－ａの値が偶数である確率はいくらですか。どこカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

$b-a$ が偶数になるためには、積 $b$ と和 $a$ の偶奇が一致している必要があります（どちらも偶数またはどちらも奇数）

解答と解説

組み合わせごとに $b - a$ を調べる

以下の組み合わせで計算してみます：

組み合わせ	和 $a$	積 $b$	$b-a$	偶数/奇数
$(2,3)$	$2+3=5$	$2×3=6$	$6-5=1$	奇数
$(2,4)$	$2+4=6$	$2×4=8$	$8-6=2$	偶数
$(2,5)$	$2+5=7$	$2×5=10$	$10-7=3$	奇数
$(2,6)$	$2+6=8$	$2×6=12$	$12-8=4$	偶数
$(3, 4)$	$3+4=7$	$3×4=12$	$12-7=5$	奇数
$(3,5)$	$3+5=8$	$3×5=15$	$15-8=7$	奇数
$(3,6)$	$3+6=9$	$3×6=18$	$18-9=9$	奇数
$(4, 5)$	$4+5=9$	$4×5=20$	$20-9=11$	奇数
$(4,6)$	$4+6=10$	$4×6=24$	$24-10=14$	偶数
$(5, 6)$	$5+6=11$	$5×6=30$	$30-11=19$	奇数

偶数になる場合

$b - a$ が偶数になる組み合わせは以下の 3通り：

• $(2,4)$
• $(2, 6)$
  
• $(4, 6)$
  

全体の組み合わせが10通りなので、確率は：答え

$$\frac{3}{\mathrm{10}}$$