令和6年埼玉県立高校（数学・学校選択）

 問1

$(-6xy^3) \div \left( \frac{3}{2}x^2y \right) \times (-5x)^2$  を計算しなさい。（4点）

解説

まず、$(-6xy^3) \div \frac{3}{2}x^2y$ を計算します。

係数は

$$-6 \div \frac{3}{2} = -6 \times \frac{2}{3} = -4$$

文字の計算は

$$x \div x^2 = \frac{1}{x}, \quad y^3 \div y = y^2$$

したがって、この結果は

$$-\frac{4y^2}{x}$$

次に、$-\frac{4y^2}{x} \times (-5x)^2$ を計算します。まず $(-5x{)}^2=25x^{\mathrm{2 }}$係数を掛け算して

$$-4 \times 25 = -100$$

文字は

$$\frac{x^2}{x} = x$$

したがって、結果は

$$-100xy^2$$

解答

$-100xy^2$

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問2

$$\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">x</span>}<span\; style="font-size:\; medium;">=</span>\sqrt{\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; medium;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">1</span>}<span\; style="font-size:\; medium;">,</span>\text{<span style="font-size: medium;">\hspace{0.17em}</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">y</span>}<span\; style="font-size:\; medium;">=</span>\sqrt{\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; medium;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">1のとき、xy-x-y+1\; の値を求めなさい。（4点）</span>}$$

解説

与えられた値を使い、順番に計算していきます。

1. まず $xy$ を計算します

   $$xy = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)$$
   
   • この計算は差積の公式 $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ を使います
   • 
     
   • $$xy = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$$
     

2. 次に、式 $xy - x - y + 1$ を代入します

   $$xy - x - y + 1 = 1 - (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) + 1$$
   

   ここで、$xy=\mathrm{1\; を代入しました。}$

3. 括弧を展開します
   各項を順番に計算します：

   $$1 - (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) + 1$$
   

   展開すると：

   $$1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} + 1 + 1$$
   

4. 同類項を整理します

   • 数字の部分： $$1 - 1 + 1 + 1 = 2$$
     
   • $\sqrt{2}$ の部分： $$-\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}$$

   これを合わせると：

   $$2-2\sqrt{2}$$

解答

$$2 - 2\sqrt{2}$$

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問3
$5(x - 1)^2 + 3(x - 1) - 1 = 0$ を解きなさい。（4点）

解説
まず $x - 1 = t$ とおくと、式は

$$5t^2 + 3t - 1 = 0$$

解の公式を用いて

$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

に代入します。ここで $a = 5, \, b = 3, \, c = -1$

代入すると

$$t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(5)(-1)}}{2(5)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{10}$$

元に戻して

$$x - 1 = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{10}$$

両辺に1を足して

$$x = \frac{10 - 3 \pm \sqrt{29}}{10} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10}$$

解答

$x = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10}$