令和5年神奈川県立高校（数学）※2

 問題1：

$(x-5)(x+3)-2x+10$ を因数分解しなさい。

解き方：

1. まず $(x-5)(x+3)$ を展開します。

   $$(x-5)(x+3) = x^2 + 3x - 5x - 15 = x^2 - 2x - 15$$
   

2. 次に、$-2x+10$ を加えます。

   $$x^2 - 2x - 15 - 2x + 10 = x^2 - 4x - 5$$
   

3. この式を因数分解します。

   $$x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)$$
   

答え：

$(x-5)(x+1)$

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問題2：$7x^2 + 2x - 1 = 0$ を解きなさい。

解き方：

1. 解の公式を使用します：

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   ここで、$a=\mathrm{7, }$$b = 2$, $c=-\mathrm{1。}$

2. 判別式を計算します：

   $$b^2 - 4ac = 2^2 - 4(7)(-1) = 4 + 28 = 32$$

3. 解の公式に代入します：

   $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2(7)} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{14}$$

4. 分母を簡単にします：

   $$x = \frac{-1 \pm 2\sqrt{2}}{7}$$

$$\mathrm{<br>}$$

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問題3：関数 $y = -2x^2$ について、$x$ の値が $-3$ から $-1$ まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

解き方：

1. $x = -3$ と $x = -1$ に対応する $y$の値を計算します：

   $$y(-3) = -2(-3)^2 = -18, \quad y(-1) = -2(-1)^2 = -2$$

2. 変化の割合を計算します：

   $$\text{変化の割合} = \frac{y(-1) - y(-3)}{-1 - (-3)} = \frac{-2 - (-18)}{-1 + 3} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
   

答え：8

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問題4：十の位の数が4である3桁の自然数がある。この自然数について条件を満たす一の位の数を求めなさい。

条件：

1. 百の位と一の位の和は $10$。
2. 百の位と一の位を入れ替えた数は元の自然数より $396$ 大きい。

解き方：

1. 自然数を $100a + 40 + b$とおく（$a$：百の位、$b$：一の位）。

   • 条件1より：

     $$a + b = 10$$
     

   • 条件2より、入れ替えた数は $100b + 40 + a$ なので：

     $$100b + 40 + a = 100a + 40 + b + 396$$
     

2. 式を整理します：

   $$100b + a = 100a + b + 396$$
   $$99b - 99a = 396$$
   $$b - a = 4$$
   

3. $a + b = 10$ と $b-a=\mathrm{4\; を連立します：}$

   $$b = 7, \quad a = 3$$
   

4. 一の位の数は $b = 7$
   

答え：7

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問題5：$\frac{3780}{n}$ が自然数の平方となるような、最も小さい自然数 $n$ を求めなさい。

解き方：

1. $3780$ を素因数分解します：

   $$3780 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7$$

2. 自然数の平方になるためには、全ての指数が偶数である必要があります。

   • $3^3$ は指数が奇数なので、もう1つ $3$ を掛ける必要があります。
   • $5$ と $7$ も指数が奇数なので、それぞれ $5$ と $\mathrm{7\; を掛ける必要があります。}$

3. $n$を求めます：

   $$n = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$$
   

答え：n=105　

※3780 の素因数分解

ステップ1：2で割る

3780 は偶数なので、2で割ります：

$$3780 \div 2 = 1890$$

もう一度2で割れます：

$$1890 \div 2 = 945$$

これで2では割れなくなりました。ここまでで $2^2$ が出ました。

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ステップ2：次は3で割る

945 は3で割れます：

$$945 \div 3 = 315$$

さらに3で割れます：

$$315 \div 3 = 105$$

もう一度3で割れます：

$$105 \div 3 = 35$$

ここまでで $3^3$ が出ました。

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ステップ3：次は5で割る

35 は5で割れます：

$$35 \div 5 = 7$$

ここまでで $5^1$ が出ました。

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ステップ4：最後に7で割る

7 は素数なのでそのまま終了です。
これで $7^1$ が出ました。

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結果

$$3780 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot 7^1$$
$$n = 105$$