令和４年神奈川県立高校（数学）※2

 

問題1: 連立方程式

次の連立方程式を解きなさい。

$$\begin{cases} 0.2x + 0.8y = 1 \\ \frac{1}{2}x + \frac{7}{8}y = -2 \end{cases}$$

解き方

1. 小数を分数に変換

   • $0.2x = \frac{1}{5}x, \ 0.8y = \frac{4}{5}y$
     
   • 第1式は $\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y=1$

2. 分母を消す

   • 第1式を両辺に5をかけて $x + 4y = 5$
     
   • 第2式を両辺に8をかけて $4x + 7y = -16$
     

   新しい連立方程式：

   $$\begin{cases} x + 4y = 5 \\ 4x + 7y = -16 \end{cases}$$

3. 代入法で解く

   • 第1式を変形して $x = 5 - 4y$
     
   • これを第2式に代入 $$4(5 - 4y) + 7y = -16$$展開して整理 $$20 - 16y + 7y = -16 \quad \Rightarrow \quad -9y = -36 \quad \Rightarrow \quad y = 4$$
     

4. $y = 4$ を第1式に代入

   $$x + 4(4) = 5 \quad \Rightarrow \quad x + 16 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = -11$$
   

答え $x = -11, y = 4$

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問題2: 2次方程式

次の2次方程式を解きなさい。

$$4x^2 - x - 2 = 0$$

解き方

1. 解の公式を使う

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   ここで $a = 4, b = -1, c = -2$
   

2. 係数を代入

   $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(4)(-2)}}{2(4)}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$$

答え $x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

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問題3: 関数の範囲

関数 $y = -\frac{1}{4}x^2$ 　について、$x$ の範囲が $-2 \leq x \leq 4$ のとき、$y$ の範囲を求めなさい。

解き方

1. 頂点を確認

   • 関数は下に凸の放物線で、頂点は $x = 0$ のとき $y = 0$
     

2. 両端の値を計算

   • $x = -2$ のとき $$y = -\frac{1}{4}(-2)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$$
     
   • $x = 4$ のとき $$y = -\frac{1}{4}(4)^2 = -\frac{1}{4} \cdot 16 = -4$$

3. 範囲をまとめる $y$ の範囲は最大値 $0$ から最小値 $-4$
   

答え $-4 \leq y \leq 0$

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問題4: A班とB班の人数

問題文
A班の生徒とA班より5人少ないB班の生徒で体育館に椅子を並べた
A班の生徒はそれぞれ3脚ずつ B班の生徒はそれぞれ4脚ずつ椅子を並べたところ A班の生徒が並べた椅子の総数はB班の生徒が並べた椅子の総数より3脚多かったこのときA班の生徒の人数を求めなさい。

解き方

【条件を式にする】

A班の人数をxとする

B班の人数はx-5

A班が並べた椅子の総数は3x

B班が並べた椅子の総数は4(x-5)

条件よりA班が並べた椅子の総数はB班より3脚多い

$$3x = 4(x - 5) + 3$$

2 方程式を展開する
右辺の4(x-5)を展開する

$$3x = 4x - 20 + 3$$

3 整理する
定数をまとめる

$$3x = 4x - 17$$

左辺の3xを右辺に移項する

$$3x - 4x = -17$$
$$-x = -17$$

4 符号を揃える
両辺を-1で割る

答え　x=17

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問題5: 特殊な式の値

次の条件のもとで $x^2y + xy^2$ の値を求めなさい。

$$x = \sqrt{6} + \sqrt{3}, \ y = \sqrt{6} - \sqrt{3}$$

解き方

1. 公式を整理

   $$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$$
   

2. 各項を計算

   • $xy = (\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 6 - 3 = 3$
     
   • $x + y = (\sqrt{6} + \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$

3. 計算をまとめる

   $$x^2y + xy^2 = xy(x + y) = 3 \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$$
   

答え $6\sqrt{6}$